$ϵ\in [0,1]$ かつ $k>0$ とし、均衡が内部的であると仮定する。$N_{ϵ}≔N-\lambda ϵ\left(N-1\right)$ と定義する。

1. (i)

   協調的最適解は変化しない：${\alpha }^{CO}\left(ϵ\right)=\left(s-\ell \right)/k$。ただし、通常通り${\alpha }^{CO}$は$[0,1]$に制限される。

(ii) ナッシュ均衡における自動化率は ${\alpha }^{NE}\left(ϵ\right)=\left(s-\ell /N_{ϵ}\right)/k$ である（ただし $[0,1]$ の範囲に制限される）。

(iii) ${\alpha }^{NE}$ と ${\alpha }^{CO}$ の双方が内部解であるとき、過剰自動化の格差 ${\alpha }^{NE}\left(ϵ\right)-{\alpha }^{CO}=\frac{\ell (N-1)(1-\lambda ϵ)}{k{N}_{ϵ}}$ は $ϵ$ に関して狭義単調減少であるが、 を満たすすべての $ϵ$ について狭義に正である。この格差がゼロになるのは $ϵ=1/\lambda$ の場合のみであり、これは であれば $ϵ>1$ となることを意味する。

命題 3 の (i) は自明ではない。利益共有は資本所得を労働者の支出へ循環させることで需要関数を変化させるため、計画者の最適解がシフトすると直感的に考えられるかもしれない。しかし、計画者はすでに全 $N$ 企業を支配下に置いており、需要の外部性を完全に内部化しているため、結果は変化しない。計画者の一階の条件において、利益共有に関する項は相殺される。修正された需要損失パラメータ ${\ell }_{ϵ}=\ell -\lambda ϵs$ と需要乗数 $1/\left(1-\lambda ϵ\right)$ が正確に相殺し合い、$k\alpha =s-\ell$ は $ϵ$ の値にかかわらず一定となる。

協調的最適解は影響を受けないが、ナッシュ均衡は変化する。直感的には、労働者が株式を保有することで、代替によって失われた需要の一部が利益配当を通じて循環して戻ってくるため、各企業は自社の自動化がもたらす実質的な需要損失をベースラインよりも大きく認識し、それに応じて抑制的に行動するようになる。この変化の規模は、複合パラメータ $N_{ϵ}=N-\lambda ϵ(N-1)$ によって支配される。このパラメータは実質的な需要漏れの除数を示す。$ϵ=0$ のとき、これは $N$ となり、各企業が自動化 1 タスクあたり $\ell /N$ の需要損失を認識するというベースラインに回帰する。$ϵ$ が上昇するにつれ、$N_{ϵ}$ は $1$ に向かって減少し、${\alpha }^{NE}$ を協調的最適解の方向へ押し上げる。

この改善にもかかわらず、 であれば、循環メカニズムだけで格差を完全に埋め尽くすことはできない。格差をゼロにするには $\lambda ϵ$ が 1 に達する必要があり、すなわち $ϵ=1/\lambda$ でなければならない。 の場合、これは実行可能な範囲 $ϵ\in [0,1]$ を超える。利益から労働者へ還元される 1 単位は、セクター需要において $\lambda$ 単位の需要を生み出すに過ぎないため、漏れを補填するには企業の総利益を超えた共有が必要になる。$ϵ=1$ （完全な利益共有）であっても、格差は $\ell (N-1)(1-\lambda )/[k(N-\lambda (N-1))]\ell (N-1)(1-\lambda )/[k(N-\lambda (N-1))]$ に縮小するだけである（これは厳密に正）。例外となるのは $\lambda =1$ という至近のケースであり、この極端な仮定の下でのみ完全な利益共有が格差を埋める（これは外部性を引き起こす支出の漏れそのものを排除するためである）。

構造的な限界は、外部性が本質的に多角的である点にある。各企業の自動化は全 $N$ 企業の需要を押し下げるが、自社の労働者との二国間契約では、競合他社へ漏れ出した需要には到達できないのである。

別個の問いとして、利益共有が自発的に発生するかどうかが挙げられる。

系 3 （自発的な利益共有は発生しない）

各企業が留保利益 $\left(1-{ϵ}_i\right){\pi }_i$ を最大化するために自社の利益共有率 ${ϵ}_i\in [0,1]$ を独立に選択する場合、${ϵ}_i=0$ が支配戦略となる。

共有の限界費用は ${\pi }_i$ （留保利益の 1 ドルあたりの減少）であるのに対し、限界的な需要便益は $\lambda {\pi }_i/N$ に過ぎない。これは、労働者が共有された利益の $\lambda$ の割合をそのセクターで支出し、企業 $i$ が生じた需要増の $1/N$ しか獲得できないためである。$N\ge 2$ であれば常に であるため、費用は便益を厳密に上回る。これは自動化の外部性そのものの上に重なる第二の調整失敗であり、セクション 3.2 で論じた囚人のジレンマの構造を反映している。

したがって、利益共有が何らかの効果を発揮するには義務化が必要であり、それでも是正税の代わりにはならない。格差を狭めることはできても排除することはできず、是正税（セクション 4.6）とは異なり、$\eta$ を高める再訓練プログラムのための政府歳入を生み出さないからである。

4.5 コース的交渉

ここまで検討したいかなる手段も過剰自動化の格差を完全には埋められず、労働者の持株も自発的には発生しない（系 3）。そこで、私的秩序がこれら手段の成し得なかったことを為し得るかが自然な問いとなる。コースの定理（Coase, 1960）によれば、外部性に関する財産権が明確に定義され、取引費用が十分に低ければ、政府の介入なくとも交渉によって協調的最適を達成できるはずである。現代的な解釈としては、各労働者が AI エージェントを携え、Arrieta-Ibarra et al. (2018) や Posner and Weyl (2018) が提案したような訓練データに関する財産権を根拠に交渉に臨むシナリオが想定されよう。この可能性を検討するには、「企業と自社の労働者間の交渉が外部性を是正できるか」と「企業間での交渉が是正できるか」という 2 つの問いを分けるのが有用である。以下で示す通り、いずれも否である。

企業と自社の労働者との交渉

解雇された労働者が補償（例：タスクごとの退職手当 $\sigma$）を交渉できれば、企業の実質的な費用節約額は $s$ から $s-\sigma$ へ低下し、均衡自動化率は低下する。しかし、退職手当は需要への所得循環ももたらす。解雇された労働者は補償額の $\lambda$ の割合を当該セクターで支出するため、実質的な需要損失パラメータは $\ell$ から $\ell -\lambda \sigma$ へ低下する。したがって、過剰自動化の格差は $\left(1-1/N\right)\left(\ell -\lambda \sigma \right)/k$ となり、小さくはなるが依然として正である。これは実質的に所得代替率 $\eta$ を $\sigma /w$ だけ引き上げるのと同じ効果であり、セクション 4.4 で分析した利益共有パラメータ $ϵ$ を通じた持株についても同様の論理が成り立つ。セクション 4.1 が示す通り、$\eta$ を引き上げても格差は狭まるだけで消滅はしない。解雇労働者の支出が完全に代替されない限り外部性は残存するからである。交渉のみで完全な所得代替（$\lambda \sigma =\ell$）を達成する必要がある。

さらに、内部化されなかった外部性の部分は、企業 $i$ の自社の労働者には全くかからない。企業 $i$ が自動化を行うと、需要損失 $\ell \left(1-1/N\right)L$ は競合企業の収益を減少させ、その所有者の利潤を低下させる（数式 4）。職を維持した競合企業の労働者はタスクあたり $w$ を得続け、直接的な損害を被るわけでもなければ、企業 $i$ と交渉する根拠もない。したがって、この外部性は二国間交渉が到達し得る「企業から労働者」へのチャネルではなく、製品市場を介した「企業から企業」へのチャネルとして作用するのである。

企業間での交渉

外部性が企業間をまたぐ以上、結合利潤を最大化するために自動化率を共同で決定する $M\le N$ 社の企業連合と、残りの $N-M$ 社がナッシュ均衡で行動する状況を考える。

命題 4 （部分連合では格差を排除できない）

$k>0$ であり均衡が内部的であると仮定する。結合利潤を共同で最大化する $M$ 社の企業連合が選択する共通の自動化率は ${\alpha }^M=\frac{s-M\ell /N}{k}.$ となる。協調的最適解に対する残存する過剰自動化の格差は であり、格差が消滅するのは $M=N$ の場合、すなわち大連合（全企業参加）の場合に限られる。

直感的には、$M$ 社の連合は集計需要損失の $M/N$ しか内部化できず、残る $\left(1-M/N\right)$ は非加盟企業へ外部化されるからである。自動化の外部性には大連合の形成を阻む 4 つの特徴がある。第一に、自発的合意は自己完結しない。摩擦のない極限（系 1）において自動化は支配戦略であり、他社が合意を遵守するかどうかにかかわらず、連合からの逸脱が利益となる。これは対話で解決できる調整失敗ではなく、囚人のジレンマの構造ゆえに、拘束力のない合意は不安定である。凸費用（$k>0$）があっても逸脱インセンティブは連続的でありながら正である。第二に、外部性は多角的かつ拡散している。コースの定理の典型的適用は二国間あるいは少人数の設定であるが、ここでは $N$ 社の各企業が他の $N-1$ 社すべてに需要損失を課す。各企業の寄与分 $\ell L/N$ は個別の交渉を動機づけるには小さすぎるが、集計すれば無視できない規模となる。これは Coase (1960) 自身が私的交渉の破綻を認めた「多数当事者」の状況に他ならない。第三に、自動化率 ${\alpha }_i$ は企業間で契約不可能である。これは内部組織の選択事項であり、競合他社による観察・検証が困難で、拘束的な私的合意は実務上不可能である。第四に、自動化決定には巨額のサンクコストが伴い本質的に不可逆的であるため、繰り返しゲームであってもトリガー戦略による処罰は逸脱を元に戻せない。競合が先行する中で遅れをとる企業は市場シェアを失う（セクション 5.1 参照）。また、$N$ が大きいほど逸脱の検知は困難となり、処罰の維持も不可能になる。

要約すると、ここで扱う需要の外部性は私的秩序では治癒できない市場の失敗である。労働者側の交渉は外部性の所在する企業間マージンに到達できない企業内チャネル（$\eta$, $ϵ$）に作用するに留まり、企業間交渉は正しいマージンを対象とするものの、格差を埋めるために必要な大連合を維持できない。根本的な障壁は取引費用ではなくインセンティブの整合性である。交渉に費用がかからないとしても、自動化ゲームは支配戦略の構造を保ち続ける。したがって外部性の是正には、自発的合意に依存せず、各企業の限界的な自動化インセンティブを直接的に変化させる手段が必要となる。

4.6 ピグー的自動化税

負の外部性に対する古典的解決策はピグー税、すなわち限界外部費用に等しい従量課税を課すことで、各主体の私的インセンティブを社会的費用に整合させることである（Pigou, 1920）。公害など多くの教科書的な外部性と異なり、ここでは被害者である労働者の所得が企業の需要を構成している。つまり、税率、歳入、負担の帰着のすべてが同一の労働市場チャネルを介して相互作用するため、標準的な場合よりも政策設計の論点は複雑になる。

命題 5 （ピグー的自動化税）

$\tau \ge 0$ をタスクあたりの自動化税とし、$k>0$、$N>N^{\ast }$ であり均衡が内部的であると仮定する。

1. (i) ナッシュ均衡自動化率は ${\alpha }^{NE}\left(\tau \right)=\left(s-\tau -\ell /N\right)/k$ となる。税率 ${\tau }^{\ast }=\ell \left(1-\frac{1}{N}\right)$ は ${\alpha }^{NE}={\alpha }^{CO}=\left(s-\ell \right)/k$ を実現する。
2. (ii) 返還のない ${\tau }^{\ast }$ 課税の下では、各企業の利潤は ${\pi }^{\mathrm{tax}}={\pi }^{CO}-{\tau }^{\ast }L{\alpha }^{CO}$ となる。税収を一括返還すれば、各企業は正確に ${\pi }^{CO}$ を達成する。

最適税率は明白な経済的解釈を持つ。各企業はすでに自社の自動化による需要損失の $\ell /N$ を負担しているが、税は競合他社に課される残りの $\ell \left(1-1/N\right)$ を負担させるものである。大きな $N$ に対して ${\tau }^{\ast }\approx \ell =\lambda \left(1-\eta \right)w$ となるため、税率の設定にはセクターレベルの観測値のみでよい。ただし課税には企業レベルの自動化率の観察が必要であり、実務上の課題となる。もっとも、AI 導入が調達記録を生成可能にするにつれ、この課題は緩和されつつある（Guerreiro et al., 2022）。コース的交渉の競合企業（セクション 4.5）とは異なり、税務当局は報告義務、給与記録、調達監査を通じて開示を強制できるため、私的検証が不可能でも概算は可能である。厚生損失は格差の 2 乗に比例する（命題 2）ため、精度が低くても一次の厚生改善が見込める。

税収の配分

命題 5 は税率を特定したが、残る設計上の問いはその歳入をどう扱うかである。外部性が労働市場を流れるため、この選択は単なる配分だけでなく、歪みを支配する構造パラメータ自体に影響し得る。

企業への一律返還は協調的利潤を正確に回復する（(ii) 参照）が、自動化を行う企業へ歳入を還元するだけで、被害者である解雇労働者には補償されない。より自然な選択肢は、当該労働者へ歳入を指向させることである。そこには異なるインセンティブ特性を持つ 2 つの経路がある。

直接的移転（賃金保険、退職手当の上乗せ）は、失われた所得を代替することで $\eta$ を機械的に引き上げる。企業の自動化インセンティブは影響を受けない。税 $\tau$ は歳入の使途にかかわらず支払われるため、一階の条件は変わらない。ただし、手厚い所得代替は労働者の再訓練や再配置のインセンティブを弱め、生産的な再吸収ではなく移転を通じて $\eta$ を維持するという道徳的ハザードの懸念がある。

一方、再訓練プログラムへの資金拠出も $\eta$ を引き上げるが、これは所得代替ではなく人的資本投資による。この経路はより時間がかかり実施も困難だが、労働者が同等かそれ以上の賃金で労働市場へ再参入する能力を構築し、$\eta$ の向上を持続可能にする。原理的には、この動的プロセスは自己強化型であり、セクション 4.1 の分析を補完する。すなわち、税が $\eta$ を高めるプログラムを資金供給し、それが $\ell$ を低下させ、結果として将来の ${\tau }^{\ast }$ を減少させる。再吸収が成功する限り、必要な是正規模は時間とともに縮小し、税は一時的なものとなる。これは、Guerreiro et al. (2022) が指摘するように、影響を受けた世代が引退し、新たな労働者が自動化を熟知した上で職業を選択するにつれ、最適なロボット税がゼロへ収束するという知見とも呼応する。

実務的には、両者の組み合わせが最適となろう。短期的な移転で衝撃を和らげつつ、長期的な再訓練で $\eta$ の恒久的な向上を築くのである。したがってピグー税は二重の役割を担い得る。すなわち、限界において外部性を是正するとともに、その歳収を再循環させて時間とともに歪みそのものを縮小させるのである。

5 拡張

ベースライン・モデルは、需要の外部性を支える最も単純な環境下でこれを孤立化させたものである。当然の懸念として、この結果が何を固定化しているかに依存するのではないかという点が挙げられる。すなわち、内生的な賃金調整が格差を埋める可能性、自由参入が市場を効率的規模へ規律する可能性、より高い AI 生産性がパイを拡大することで需要問題を解決する可能性、そして資本所得の循環が代替による支出の喪失を相殺する可能性である。本節ではこれら異論のほか、より豊かな製品市場の相互作用を取り上げ、外部性がこれら全てに対して頑健であり、場合によっては増幅されることを示す。表 2 に結果の概要を示す。

	セクション	$N^{\ast }$ を変化させるか？	格差への効果	外部性を排除するか？
AI 生産性 ($\varphi >1$)	5.1	いいえ	拡大	いいえ
内生的参入	5.2	いいえ	持続（拡大の恐れあり）	いいえ
内生的賃金	5.3	はい（上昇）	縮小	いいえ
資本所得の循環 ($\hat{\eta }>0$)	5.4	はい（上昇）	縮小	部分的
不完全競争	5.5	—	持続	いいえ

注：各行は一般化が自動化の閾値 $N^{\ast }$、過剰自動化の格差、需要の外部性の排除に与える影響を示す。経験的に妥当なパラメータの下、外部性は 5 つの一般化すべてにおいて存続する。

5.1 AI 生産性

ベースラインでは、AI と人間労働者はタスクあたりの生産量が同一であり、自動化インセンティブは純粋に費用駆動型である。しかし実務には、AI が人間を代替すると同時にタスクあたりの産出量を増加させる場合がある（例：自律型コーディングエージェント、高スループットの顧客対応ボット）。これを捉えるため、費用節約に加え生産性優位性を付加する。直感的には、この産出チャネルが経済の生産性を高めることで需要問題を緩和すると考えられよう。しかし我々は、その逆が真実であることを示す。AI のタスクあたりの産出量が多いほど、過剰自動化の格差は拡大するのである。

AI が実行するタスクの産出量を $\varphi \ge 1$、人間が実行するタスクの産出量を $1$ とする。$\varphi >1$ のとき、企業 $i$ の産出量は $Y_i\left({\alpha }_i\right)=\left[\varphi {\alpha }_i+\left(1-{\alpha }_i\right)\right]L=[1+(\varphi -1){\alpha }_i]LY\_i(\alpha \_i)=[\varphi \alpha \_i+(1-\alpha \_i)]L=[1+(\varphi -1)\alpha \_i]L.$ となる。

完全競争の下、収益は産出量シェアで配分される：${\mathrm{Rev}}_i=D\cdot Y_i/{\sum }_j{Y}_j$。対称プロファイルの下、全企業が同一の産出量 $\overline{Y}=[1+(\varphi -1)\alpha ]LȲ=[1+(\varphi -1)\alpha ]L$ を生産するため、${\mathrm{Rev}}_i=D/N$ となり、ベースラインと同一となる。これらを ${\alpha }_i$ で微分し、対称プロファイルで評価すると次を得る。

${\frac{\partial {\mathrm{Rev}}_i}{\partial {\alpha }_i}|}_{\mathrm{sym}}=\underset{\text{需要損失}}{\underbrace{-\frac{\ell L}{N}}}+\underset{\text{市場シェア獲得}}{\underbrace{\frac{D(\varphi -1)(N-1)}{N^2[1+(\varphi -1)\alpha ]}}}.$ (10)

第一項は、$\ell$ と $N$ のみに依存し $\varphi$ に依存しないベースラインの需要外部性である。第二項が新規であり、逸脱企業が競合他社よりも産出量を増やし、支出のより大きなシェアを確保する効果を示す。この市場シェア獲得効果は $\varphi >1$ であれば常に正であり、ベースラインを超えて自動化への私的インセンティブを高める。

効果を定量化するため、費用節約、需要損失、市場シェア獲得の 3 つを合わせ、一階の条件を構成する。対称均衡では、限界統合費用が複合便益と等しくなる。

$k\alpha =s-\frac{\ell }{N}+\frac{D\left(\alpha \right)(\varphi -1)(N-1)}{N^2[1+(\varphi -1)\alpha ]L}$

$D\left(\alpha \right)$ は $\alpha$ に関して線形であるため、分母を払えば正の解が一意の均衡となる 2 次方程式が得られるが、その表現はベースラインの数式ほど透明ではない。そのため、以下の比較静学分析は単調交差論法によって確立される。

命題 6 （AI 生産性は過剰自動化の格差を拡大する）

$k>0$ であり均衡が内部的であると仮定する。

1. (i) ナッシュ均衡自動化率は AI 生産性に関して増加する：$\varphi >1$ に対し ${\alpha }^{NE}\left(\varphi \right)>{\alpha }^{NE}\left(1\right)$。
2. (ii) 一方、協調的最適解および一般化された計画者の最適解は変化しない：すべての $\mu \in [0,1]$ について ${\alpha }^{CO}\left(\varphi \right)={\alpha }^{CO}\left(1\right)$ かつ ${\alpha }^{SP}(\mu ;\varphi )={\alpha }^{SP}(\mu ;1)$。
3. (iii) 結果として、過剰自動化の格差 ${\alpha }^{NE}\left(\varphi \right)-{\alpha }^{SP}(\mu ;\varphi )$ は、すべての $\mu \in [0,1]$ について $\varphi$ に関して狭義単調増加する。

そのメカニズムは「赤の女王効果」である。各企業は競合他社を凌駕する自動化によって市場シェア獲得を期待するが、対称均衡では全企業が均等に拡大するため、その利益は相殺される。対照的に、費用節約 $s$ は競合の選択に関わらず各企業の利潤に等しく影響するため、${\alpha }^{NE}$ と ${\alpha }^{CO}$ の双方を等しくシフトさせ、格差は変化しない。

(ii) が成り立つのは、市場清算の下でセクター全体の収益総額は支出総額 $D$ に等しく、$D$ （数式 2）は労働者所得に依存し産出量には依存しないからである。より高い $\varphi$ は産出量を増やすが、比例して価格を押し下げるため、計画者の目的関数は $\varphi$ に対して不変となる。(i) と合わせると (iii) が導かれる。すなわち、AI の性能向上は均衡自動化率を上昇させるが、効率的な基準点は動かさないため、AI の能力向上とともに歪みは増大する。

格差の拡大は政策的含意も持つ。市場シェア獲得動機が需要外部性の上に第二の歪みを追加するため、ベースラインのピグー税率 ${\tau }^{\ast }=\ell \left(1-1/N\right)$ では不十分となる。${\alpha }^{CO}$ を実現するには、$\varphi >1$ で常に正となる、(10) 式の市場シェア項に等しい追加の是正が必要となる。もっとも、価格低下により支出の 1 ドルがより多くの物理的産出量を購入可能となるため、名目フローに基づく厚生尺度 $S\left(\mu \right)$ は、より高い $\varphi$ による実質消費の便益を過小評価している。本命題は戦略的歪みを特定するものであり、AI 生産性の向上が純粋に厚生を減少させると主張するものではない。

5.2 内生的参入

これまでは企業数は外生的であった。自由参入の下では、過剰自動化問題は自己修正的である、すなわち利潤の侵食が企業退出を招き、残存産業が効率的規模へ収束すると期待されるかもしれない。しかしこのロジックが機能するかどうかは、参入マージンが自動化決定とどのように相互作用するかに依存する。

2 段階ゲームを考える。企業は参入のために固定費用 $\kappa \ge 0$ を支払い、続いて同時に自動化率を選択する。$N$ 社が参入したとき、第 2 段階のナッシュ均衡は企業あたりの営業利益 ${\Pi }^{\ast }\left(N\right)$ をもたらす。純粋戦略における自由参入均衡とは、次を満たす整数 $N\ge 1$ である。

在職企業は活動を継続することを（少なくとも損失を被らない範囲で）選好し、新規参入者が固定費を回収できないような整数 $N\ge 1$ である。

摩擦のないケース（$k=0$）と凸費用ケース（$k>0$）では、利益スケジュールの形成が質的に異なるため、それぞれ個別に検討する。摩擦のないケースでは、定式化を簡潔にするため $\lambda =1$ と仮定するが、この仮定は利益の水準にのみ影響し参入レジームの構造には影響しないため、定性的な結果は任意の $\lambda \in (0,1]$ について成り立つ。

摩擦のないベンチマーク（$k=0$）において、自動化は「全か無か」の選択となる。$\ell >s$ のとき、利益スケジュールは閾値 $N^{\ast }$ において不連続に低下する。この閾値未満ではどの企業も自動化を行わず、これを超えると完全自動化が支配的となる（系 1）。その際、企業あたりの利益は $\Delta :=L(\ell -s)>0$ だけ減少する（付録の図 4を参照）。ここで、$N^{\ast }$ を超えない最大の整数を $m:=\lfloor N^{\ast }\rfloor$ とする。

命題 7（摩擦のないベンチマークにおける内生的参入）

$k=0$、$\lambda =1$、$\ell >s$、かつ $0<\kappa <A$ と仮定する。企業あたりの均衡利益スケジュール

は自然数 $\mathbb{N}$ 上で狭義単調減少する。純粋戦略における自由参入均衡は、$N^{FE}=\max \{N\in \mathbb{N}:{\Pi }^{\ast }(N)\ge \kappa \}$ となる企業数によって特徴づけられる。参入費用に応じて、以下の 3 つのレジームが生じ得る。

1. (i)

   参入費用が低い場合（$\kappa \le A/(m+1)-\Delta$）：$N^{FE}=\lfloor A/(\kappa +\Delta )\rfloor \ge m+1$ となり、すべての企業が完全自動化を行う。

2. (ii)

   参入費用が中程度の場合（$A/(m+1)-\Delta <\kappa <A/m$）：$N^{FE}=m$ となる。どの企業も自動化を行わないが、各企業は $A/m>\kappa$ という正の利益を享受する。自動化の脅威が追加参入を阻止する。もし企業が 1 社でも追加参入すれば完全自動化が誘発され、企業あたりの利益は $A/(m+1)-\Delta <\kappa$ まで低下してしまうためである。

3. (iii)

   参入費用が高い場合（$\kappa \ge A/m$）：$N^{FE}=\lfloor A/\kappa \rfloor \le m$ となる。どの企業も自動化を行わない。企業数は自動化の外部性ではなく、参入費用によって制限される。

ケース (i) が生じる場合、自由参入の下で系 1で示された囚人のジレンマが現実のものとなる。すなわち、すべての企業が自動化を行い需要が縮小し、もし誰も自動化していなければ全企業がより良い状態だっただろうという結果になる。ケース (iii) は標準的な自由参入の結果である。参入費用が十分に高く、市場が自動化の閾値に達することがなく、外部性は無関係となる。最も特徴的なのはケース (ii) である。ここでは自動化の脅威が内生的な参入障壁として機能し、実際に自動化が行われることなく正の利益を持続させる。もっとも、それは市場勢力を維持することとの引き換えである。

凸費用の場合（$k>0$）は、より劇的ではないが、より頑健である。$k>0$ の場合、自動化率 ${\alpha }^{NE}(N)=(s-\ell /N)/k$ は $N$ に関して連続的に変化するため、利益スケジュールは $N^{\ast }$ においてジャンプせず、命題 7の(ii) で見られたような参入阻止メカニズムは生じない。

命題 8（凸費用における内生的参入）

$k>0$、$\ell >s$、かつ ${\Pi }_0(1)>\kappa$（市場が成立可能）と仮定する。式 (11) を満たす自由参入均衡 $N^{FE}$ が存在する。もし $N^{FE}>N^{\ast }$ であれば、${\alpha }^{NE}(N^{FE})>{\alpha }^{CO}$ となる。すなわち、自由参入の下でも過剰自動化は持続する。

一般的に、閾値 $N^{\ast }$ における非自動化時の利益 ${\Pi }_0(N^{\ast })$ が $\kappa$ を超える限り、$N^{FE}$ は $N^{\ast }$ を超える³。自由参入は企業数を決定するが、自動化サブゲームにおける戦略的インセンティブを変えるものではない。各企業は依然として需要損失のごく一部（$1/N^{FE}$）しか負担せず、過剰自動化の格差 $\ell (1-1/N^{FE})/k$ は残存する。$N^{FE}\le N^{\ast }$ であれば企業は自動化を行わず結果は効率的になるが、それは市場があまりに寡占的であり、私的自動化インセンティブが作動しないためである。

以上の 2 つの命題から得られる共通の教訓は、自由参入は過剰自動化問題を再構築するが、解決はしないということだ。むしろ、過剰参入へ向かう標準的な傾向（Mankiw and Whinston, 1986）が市場をさらに細分化することで、格差を拡大させる可能性さえある。

参入マージンはまた、ユニバーサル・ベーシックインカム（UBI）の予期せぬ副作用も明らかにする（4.2 節参照）。UBI は自律的需要 $A$ を増加させることで、任意の $N$ において企業あたりの利益 ${\Pi }_0=A/N+(\lambda -1)wL$ を増加させ、ゼロ利潤条件（式 11）がより大きな $N^{FE}$ で成立するまで追加の参入を呼び込む。過剰自動化の格差 $\ell (1-1/N)/k$ は $N$ に関して増加関数であるため、労働者の代替による打撃を和らげるための政策が、皮肉にもその原因となっている外部性を拡大させるという逆説が生じ得る。

5.3 内生的賃金

Acemoglu and Restrepo (2018) の中心的な洞察は、内生的な賃金調整が自動化の経路を安定化させ得るという点にある。企業が自動化を進めれば、職を失った労働者によって労働供給が増加し賃金が低下する。賃金の低下は自動化による費用節約分を縮小させ、さらなる代替を思いとどまらせる。この自己修正的なフィードバックは、上記で特定された需要の外部性を解決する自然な候補である。本稿では、これが外部性が作動する閾値を引き上げることは示すものの、いったん作動すればその格差を埋めることはできないことを示す。

Acemoglu and Restrepo (2018) において賃金は労働市場の清算によって決定されるが、本稿ではそのメカニズムの本質的な特徴を捉えた既約型（reduced-form）の表現を採用する。賃金が集計的な自動化率 $\bar{\alpha }$ に依存する $w(\bar{\alpha })$ であり、$w(\bar{\alpha })>c$ かつ $w^{\prime }(\bar{\alpha })\le 0$ であるとする。企業は ${\alpha }_i$ を選択する際、所与の賃金を前提とする。この定式化は、集計的な労働市場の需給緩和が進むと賃金が下落するという性質のみを要求する。これは、失業率の上昇とともに無欠陥賃金（no-shirking wage）が低下する効率賃金モデル（Shapiro and Stiglitz, 1984）や、10 カ国以上で賃金と失業率の間に強固な負の相関があることを実証した賃金カーブ（Blanchflower and Oswald, 1995）と整合的である。我々の設定では、自動化が労働者を労働プールへと押し出すことで、まさにこの種の需給緩和を生み出す。

費用節約分 $s(w)=w-c$ も需要損失パラメータ $\ell (w)=\lambda (1-\eta )w$ も賃金に関して増加関数であるため、賃金の低下は自動化マージンの両側に影響する。すなわち、自動化への私的インセンティブ（自己修正チャネル）を縮小させると同時に、自動化されたタスクあたりの需要損失も減少させる。したがって均衡自動化率は、自動化、賃金、外部性が相互に決定される固定点となる。このより豊かなフィードバックがあっても、閾値 $N^{\ast }=\ell /s=\lambda (1-\eta )w/(w-c)$ は、費用節約分 $s=w-c$ が需要損失 $\ell =\lambda (1-\eta )w$ よりも速く縮小するため、賃金の低下とともに上昇する。しかしながら、歪みの構造的要因は影響を受けない。

命題 9（賃金調整に対する頑健性）

$k>0$ とし、$w:[0,1]\to (c,\infty )$ は微分可能で $w^{\prime }(\bar{\alpha })\le 0$ であり、企業が賃金受容者（wage-takers）であると仮定する。

1. (i)

   任意の対称均衡において、$N>N^{\ast }(w(\bar{\alpha }))$ であれば、ナッシュ自動化率は協調的最適解を超える：${\alpha }^{NE}>{\alpha }^{CO}$。

2. (ii)

   内生的賃金調整は閾値を引き上げる：すべての $\bar{\alpha }\in [0,1]$ について $N^{\ast }(w(\bar{\alpha }))\ge N^{\ast }(w(0))$ であり、$w(\bar{\alpha })<w(0)$ であれば狭義不等号が成立する。

競争的価格付けの下では、いかなる賃金水準においても収益は $Re{v}_i=D/N$ と配分されるため、各企業は自らの自動化が引き起こす需要破壊の一部しか負担しない。これは賃金 $w$ の高低にかかわらず変わらない。賃金調整は $\ell$ の大きさを変えるが、各企業が内部化する割合を変えるものではない。その割合は市場構造の属性であり、要素価格の属性ではない。

自己修正論の最強のバージョンは、賃金が十分に低下して外部性を完全に停止させ得るというものである。$w\to c$ となれば、費用節約分 $s\to 0$ となり $N^{\ast }\to \infty$ となる。最終的に $N^{\ast }$ は $N$ を超え、どの企業も私的に自動化を行う意味を見出さなくなる。しかし、これはピュロスの勝利（代償の大きすぎる勝利）による解決である。賃金が AI コストにほぼ等しくなるまで押し下げられたとき、職を維持できた労働者でさえ、自らを代替する機械とほとんど変わらない収入しか得られず、総購買力は代替ではなく賃金抑圧を通じて崩壊する。外部性が消滅するのは需要問題が解決されたからではなく、労働者あたりの所得が極めて少なくなることで、私的インセンティブと社会的インセンティブの格差が無視できるようになるためである。すなわち、労働力階級を貧困化させることでのみ「自己修正」する労働市場は、代替を生活水準の低下へと転化させただけに過ぎない。より一般的に言えば、賃金の柔軟性は外部性がいつ作用するかを変えるだけで、外部性が存在するか否かを変えるものではない。

上記の分析は $\mu =0$、すなわち計画者が企業の利益のみを重視する場合を想定している。労働者の厚生も重視する（$\mu >0$）計画者であれば、賃金抑圧も代替と同様に容認できず、より大きな是正を要求するだろう。しかし賃金調整は $\ell$ の圧縮という点では同じ効果しか持たない。したがって内生的賃金は格差のより小さな部分しか埋められず、是正メカニズムとしてはさらに不十分となる。付録の系 4はこのことを裏付けている。すなわち、内生的賃金の下でも過剰自動化の結果は任意の $\mu \in [0,1)$ について拡張される。

5.4 資本所得の再循環

4.1 節は、代替された所得の労働者への回収率 $\eta$ を高めることが、需要損失パラメータ $\ell$ を縮小し過剰自動化の格差を狭めることを示した。資本側における自然な対応策は、資本家が利益を消費するというものである。もし彼らの消費が代替によって失われた支出を相殺するならば、需要の外部性は消滅するかもしれない。本稿では、再循環が格差を狭めることはあっても、経験的に妥当なパラメータの下では埋め尽くすことはないと示す。

資本家が部門内の資本所得の割合 $\hat{\eta }\in [0,1)$ を消費すると仮定する。部門全体の利益は $\Pi =D-NL(w-s\bar{\alpha })$ である。総需要に資本消費 $\hat{\eta }\Pi$ を加え、$D$ について解くと以下のようになる。

$$D=\frac{A+\left(\lambda -\hat{\eta }\right)wLN}{1-\hat{\eta }}-\frac{{\ell }_{\hat{\eta }}LN}{1-\hat{\eta }}\overline{\alpha },$$

(12)

ここで、

$${\ell }_{\hat{\eta }}=\ell -\hat{\eta }s$$

は実効的な需要損失パラメータである。各自動化タスクは労働者の支出において $\ell$ だけを失うが、資本家はそのタスクあたりの節約分 $s$ の $\hat{\eta }$ 分を需要へと再循環させる。$\hat{\eta }=0$ のとき ${\ell }_{\hat{\eta }}=\ell$ となり、式 (12) は式 (2) に帰着する。

競争的価格付けは依然として $Re{v}_i=D/N$ を与える。1 階の条件は $L(s-{\ell }_{\hat{\eta }}/[N(1-\hat{\eta })])$ となり、修正された閾値は以下の通りとなる。

$$N_{\hat{\eta }}≔\frac{{\ell }_{\hat{\eta }}}{s\left(1-\hat{\eta }\right)}.$$

命題 10（資本所得の再循環）

$k=0$ かつ ${\ell }_{\hat{\eta }}>0$ と仮定する。資本所得の再循環率 $\hat{\eta }$ があるとき、

1. (i)

   完全自動化が支配的となるのは、$N>N_{\hat{\eta }}$ である場合に限られる。

2. (ii)

   外部性が消滅する（${\ell }_{\hat{\eta }}\le 0$）のは、$\hat{\eta }\ge \ell /s$ の場合に限られる。

部分 (ii) は $\hat{\eta }\ge \ell /s=\lambda (1-\eta )w/(w-c)$ を要求する。これは、資本家が各タスクの費用節約分の十分な割合を再循環させ、代替された労働者が生み出していたはずの需要を埋め合わせなければならないことを意味する。$\ell >s$ の場合、必要な再循環率は 1 を超えるため、外部性が最も有害であるまさにその局面（$\ell >s$ は ${\alpha }^{CO}=0$ を意味し、計画者なら自動化を望まない状況で企業が自動化を行う）において、再循環は無力となる。$\ell <s$ の場合、原理的には外部性の排除は可能だが、その場合すでに計画者は正の自動化を好んでおり（命題 1）、格差も定量的には小さい。

摩擦のないケースが最も鋭い結果を与えるが、その構造は摩擦が正の場合にも引き継がれる。命題 10の証明は、この結果を $k>0$ へ拡張するものである。ナッシュ均衡は ${\alpha }^{NE}=(s-\ell /\hat{N})/k$ へと一般化される。ここで $\hat{N}=N(1-\hat{\eta })+\hat{\eta }$ は実効的な市場規模であり、これは $N$（再循環なし）から $1$（完全再循環）までを補間する値であり、各企業が競争相手が減ったかのように振る舞わせる。一方、協調的最適解は変化しない。$1/(1-\hat{\eta })$ という倍率は総利益を拡大させるが、最適化子をシフトさせるものではない。

結論は4.1 節と並行する。再循環は各企業が内部化する需要損失の割合を $1/N$ から $1/\hat{N}$ へと引き上げるが、1 にまで高めることはできない。所得がどのように使われるかに対処することは格差を狭めるが、企業間での希釈（dilution）という根本的な問題は残るため、格差を埋め尽くすことはできない。

5.5 不完全な製品市場競争とタスクの補完性

ベンチマークモデルは競争的価格付けとタスク間の完全代替を仮定している。形式的な取り扱いまでは行わないが、より豊かな製品市場の相互作用やタスクの補完性は分析を複雑にするものの、需要の外部性をなくすものではないと論じる。

第 2 段階における価格または数量競争

企業が自動化率の選択後に、数量（クルノー）または価格（ベルトラン）で競争すると仮定しよう。この場合、2 つの新たな力が働く。1 つ目は需要配分効果であり、戦略的競争が与えられた支出水準の企業間での配分方法を変える。2 つ目は市場シェア獲得動機である。競合他社よりも多く自動化した企業は、価格を下げたり産出量を増やしたりすることで、支出のより大きなシェアを奪取できる。これらの力は過剰自動化の格差の大きさに異なる影響を与えるが、需要の外部性そのものを除去するものではない。自動化が労働者の代替を通じて集計的支出水準 $D$ を減少させるという事実には影響しないためである。

需要配分効果は自明である。収益が競争的価格付け、クルノー的市場シェア、あるいはベルトラン的値引きのいずれで配分されるにせよ、各企業が自らの自動化によって引き起こされた $D$ の減少分の一部しか負担しないことに変わりはない。製品が差別化されている場合、内部化されない需要損失は、その企業が獲得しなかった市場シェアの割合に比例する。したがって、企業が完全な市場支配力を持たない限り、過剰自動化は持続する。

市場シェア獲得動機はより繊細である。対称均衡においては、市場シェアの獲得分は企業間で相殺され、5.1 節の「赤の女王効果」と同様の構造を示す。しかしクルノー競争の下では、市場シェアを拡大した企業は、自らが引き起こした需要損失のより大きな割合も引き受けることになり、その動機を部分的に相殺する。格差への正味の効果は、市場構造の詳細に依存する可能性が高い。

CES タスク集計

Acemoglu and Restrepo (2018) のタスクベースの枠組みは、CES（定代替弾力性）生産関数を介してタスクを集計する。本稿のベンチマークは扱いやすさのため完全代替の極限をとっている。代替弾力性が 1 より大きい（タスクは代替財だが完全代替ではない）一般的な CES 集計関数の下では、限界的なタスクの自動化は産出量の逓増的な利益しか生まないため、凸的な統合費用 $k$ がなくても内部最適解が存在する。これは生産関数の形状を変えるだけで需要側には影響しないため、需要の外部性は自動化マージンで依然として作用し、過剰自動化の格差も持続する。ただし、供給側からの逓増便益がすでに自動化を抑制しているため、その格差は小さくなる。

タスクが補完的（弾力性が 1 より小さい）である場合、抑制効果はより強くなる。生産関数それ自体が自動化を制限する。なぜなら人間的タスクを排除することは産出量を減少させるからである。それでもなお、代替された労働者が所得を失う限り、需要の外部性は正のままである。

いずれの場合も、より豊かなモデルの仮定は過剰自動化の規模を変えるが、その源泉を変えるものではない。企業が代替による需要損失を完全に内部化しない限り、格差は持続する。戦略的価格付け、市場シェア獲得動機、需要の外部性の間の正確な相互作用を特徴づけることは、将来の研究にとって有望な方向性である。ベンチマークの単純化された仮定は、この中核メカニズムを最も劇的な形で浮き彫りにするものである。

6 考察

本論文は単純ながら痛烈な洞察を持つ単純なモデルを展開した。AI 主導の人員削減が産業界を席巻し、すべての企業が「消える給与は消える顧客を意味する」と認識しているにもかかわらず、どの企業もそれを止めはしない。各企業は自社の労働者を代替することによる費用節約の全恩恵を受ける一方、自らが破壊する需要の負担はごく一部しか負わず、残りは競争相手にのしかかる。どの企業も、一歩引くという選択を許されない。これこそが罠である。AI の性能向上とともに激しさを増し、労働者と企業の所有者の双方をより悪くし、いかなる市場の力も打破できない自動化の軍拡競争である。最後に、実証と政策への含意、そして分析の範囲と限界について議論する。

実証的含意

Anthropic 社の CEO であるダリオ・アモデイ氏は、AI による代替は過去の技術的ショックに比べて「異常に痛みを伴い」、「はるかに広範」で「はるかに速い」ものになると警告している（CNBC, 2026a）。この評価が正しく、所得補填が不十分なままであるならば、本モデルは直感に反するかもしれないが、問題が最も深刻な場所を指し示している。それは支配的な技術企業ではなく、最も有能な AI を導入する断片化された産業である（命題 1 および 命題 6）。特徴的な実証的シグネチャ（特徴的兆候）は、利益の侵食となるだろう。標準的な競争モデルは、費用削減型技術は利益を押し上げると予測する。大量解雇と同時進行する利益の侵食は、この外部性なしには説明しがたい（命題 2）。もっとも、このシグネチャを検出するには、これまでに実現している規模と速度を超えた代替が必要となる。もし労働者の再吸収が自動化のペースに追いついていれば、外部性は検出できないほど小さいかもしれない。本論文の寄与は、進行中の危機を診断することではなく、構造的な脆弱性を特定することにある。AI による代替がすでに進行しつつある 3 つの領域が具体的な出発点を提供する。1 つ目はカスタマーサポートであり、数千人の企業がエージェント型 AI によるエージェントの代替を同時に進めている（CNBC, 2025c）。2 つ目はソフトウェアサービスであり、1 人のエンジニアが複数名のチームを代替することを可能にするツール（CNBC, 2025a）が、人員対産出比率に測定可能な変化をもたらしている。3 つ目は、競合する金融機関間におけるバックオフィス業務であり、規制報告により導入率と収益成果が例外的に透明化されている。

より広範には、文献は AI が生産性の大きな向上をもたらすこと（Brynjolfsson et al., 2025b）、競争圧力が導入を加速させること（Li et al., 2025）、そして AI の性能向上に伴い効果的な人間の監視が困難になること（Bastani and Cachon, 2025）を示している。これらの知見はそれぞれ、自動化への強力な企業レベルのインセンティブを記録するものである。本モデルは、すべての企業が同時にそのインセンティブに従って行動したときに何が起こるかを明らかにする。すなわち、個々の企業が観察する収益は、すべての企業が集合的に破壊する需要を考慮しておらず、その結果、AI への私的収益は経済全体としての収益を体系的に過大評価するのである。

政策的含意

AI による代替をめぐる政策議論の多くは、再訓練、所得支援、規制など、事後的な対応に焦点を当てている。本稿の結果はこの問いを再構築する。競争的インセンティブは、企業を集団的に最適な水準を超えて自動化へと駆り立てているのではないか、と。たとえ労働者の厚生に重みを置かない計画者でさえ、均衡水準を下回る自動化率を選択するだろう（命題 2）。問題は企業が労働者を犠牲にして利益を得ていることではなく、過剰自動化が両者を害している点にある。したがって是正策は利益の再分配ではなく、浪費の排除が問題となる。最も広く議論されている対応策であるベーシックインカム（UBI）は生活水準を向上させるが、個々の企業の自動化インセンティブを変えるものではない（4.2 節）。団体交渉も同様の壁に直面する。自動化が支配戦略である以上、解雇を抑制するための企業間の自発的合意は自己拘束的ではない（4.5 節）。ティンバーゲンの原理によれば、個別の市場の失敗には個別の手段が必要である。これを供給し得るピグー税は、自動化税のみである（表 1）。いかなる再訓練、所得支援、交渉もこの軍拡競争を遅らせることはできず、それを駆動する計算式を変えるのは自動化そのものへの課税のみである。

実装上の実践的考慮事項として、本モデルは閉鎖部門ゲームであるため、一方的な自動化税は導入の海外流出を招く恐れがある。これは、気候変動政策などで用いられる国境調整措置と同様の、多国間協調または国境調整メカニズムの必要性を裏付ける。

範囲、限界、および将来の方向性

本モデルは意図的に単純化されている。1 つの部門、1 期間、対称的な企業である。これらの選択は保守的であり、現実の問題は我々が示したものよりもさらに深刻である可能性が高い。

単一セクターの仮定は外部性を過小評価している。複数部門経済では、ある部門の人員削減はすべての部門の産出に対する支出を減少させ、需要の負のスパイラルを強化する。プラットフォーム・エコシステムはこの点を具体的に示している。プラットフォームが販売者支援、ギグ・ロジスティクス、コンテンツモデレーションを自動化すると、失われた支出は補完財を提供するエコシステム全体に波及する。

静的な設定は、逆方向に働く 2 つの動的要素を見落としている。AI への投資は本質的に不可逆的であり、命題 7は、実際の代替が起こる前でさえ、自動化の脅威が市場構造を再構築し得ることを示している。これは早期の政策介入の根拠を強める。一方、代替された労働者の再訓練や新職種の創出に伴い、所得代替率 $\eta$ は時間とともに上昇する（Acemoglu and Restrepo, 2019）。したがって、経済が調整されるにつれ最適な税率は低下するべきである（4.6 節）。

対称性の仮定は企業間・労働者間の異質性を排除しており、AI 開発を内生化することは問題を悪化させ得る。自動化を競う企業は、労働補完型 AI ではなく、労働代替型 AI へ不均衡に投資する可能性があり（Acemoglu and Restrepo, 2018）、本モデルが特定した軍拡競争をさらに助長する。

これらの拡張はいずれも同じ方向、すなわちより大きな問題へと向かっている。それにもかかわらず、これらを追及すること、ならびに上記の実証的検証は、将来の研究にとって有望な方向性である。

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付録 A 証明

命題 1の証明.

前書きおよび (i) ナッシュ均衡：式 (6) より、次が成り立つ。

$${\pi }_i={\Pi }_0+L\left[{\alpha }_i\left(s-\frac{\ell }{N}\right)-\frac{k}{2}{\alpha }_i^2-\frac{\ell }{N}\sum _{j\ne i}{\alpha }_j\right]\pi \_i\; =\; \Pi \_0\; +\; L\; [\; \alpha \_i\; (s\; -\; \ell /N)\; -\; (k/2)\alpha \_i²\; -\; (\ell /N)\; \Sigma \_\{j\ne i\}\; \alpha \_j\; ]$$

α_i について微分する（競合他社の和 Σ_{j≠i} α_j は企業iからは定数と見なされるため、α_i を含む項のみが寄与する）。

$$\frac{\partial {\pi }_i}{\partial {\alpha }_i}=L\left[\left(s-\frac{\ell }{N}\right)-k{\alpha }_i\right].$$

(13)

2 階微分は以下の通り。

したがって、π_i は α_i について狭義に凹関数である。

1 階の条件をゼロと置く。

$$L\left(s-\frac{\ell }{N}-k{\alpha }_i\right)=0⟹{\alpha }_i^{\ast }=\frac{s-\ell /N}{k}.$$

ここで、α_i は自動化される業務の割合であるため、区間 [0, 1] に制限される。

α_i* > 1 の場合、∂²π_i/∂α_i² < 0 より、α_i < α_i* において ∂π_i/∂α_i > 0 であるため、この場合の π_i(α_i) の最大値は α_i = 1 で生じる。

同様に、α_i* < 0 の場合、α_i > α_i* において ∂π_i/∂α_i < 0 であるため、この場合の π_i(α_i) の最大値は α_i = 0 で生じる。α_i* < 0 は s < ℓ/N、すなわち N < ℓ/s = N* と同値であることに注意せよ。これにより、N ≤ N* のときどの企業も自動化を行わないという前書きの主張が確立された。

α_i* は競合他社の選択 α_j (j ≠ i) に依存しないことに注意せよ。競合他社の自動化水準は、1 階の条件に影響を与えない加算項 -(ℓ/N)Σ_{j≠i} α_j を通じてのみ入力される。したがって、企業iの最適戦略は α_{-i} に独立しており（支配戦略）、右辺が [0, 1] に含まれる限り

$${\alpha }_i=\frac{s-\ell /N}{k},$$

と設定することになる。そうでない場合は、それぞれの境界で α_i = 0 または α_i = 1 となる。すべての企業が同じ問題を解くため、一意な対称ナッシュ均衡では、すべてのiについて α_i = α^{NE} となる。

(ii) 協調最適：全N企業にわたり企業別利潤 (5) を合計すると、部門全体の利潤は以下のようになる。

	$${\pi }_{tot}$$	$$≔\sum _{i=1}^N{\pi }_i$$
		$$=\sum _{i=1}^N\left[{\Pi }_0+L\left(s{\alpha }_i-\ell \overline{\alpha }-\frac{k}{2}{\alpha }_i^2\right)\right]$$
		$$=N{\Pi }_0+Ls\sum _i{\alpha }_i-L\ell N\overline{\alpha }-\frac{kL}{2}\sum _{i=1}^N{\alpha }_i^2.$$

Σ_i α_i = Nᾱ を用いると、これは以下のように簡略化される。

$${\pi }_{tot}=N{\Pi }_0+NL\overline{\alpha }\left(s-\ell \right)-\frac{kL}{2}\sum _{i=1}^N{\alpha }_i^2.$$

最初の 2 項はαに依存するのは ᾱ を通じてのみである。最後の項 -(kL/2)Σ_i α_i² は、x²の凸性により、α_i が可能な限り等しいときに最大化（負の値が最小）される。形式的には、任意の固定された ᾱ に対して、Σ_i α_i² ≥ Nᾱ² であり、等号が成り立つのはすべてのiについて α_i = ᾱ の場合に限られる（QM-AM 不等式による）。したがって、最適解は対称的、すなわちすべてのiについて α_i = α となり、ᾱ = α である。代入すると、

$${\pi }_{tot}=N{\Pi }_0+NL\alpha \left(s-\ell \right)-\frac{kNL{\alpha }^2}{2}.$$

(14)

これは α に関する凹 2 次関数である。

1 階の条件をゼロと置く。

$$NL\left(s-\ell \right)-kNL\alpha =0\Rightarrow {\alpha }^{\ast }=\frac{s-\ell }{k}.$$

π_tot は狭義に凹であるため、これは実数全体 ℝ 上での一意な大域的最大値である。α ∈ [0, 1] に制限すると、(s - ℓ)/k > 1 であれば、狭義の凹性より区間 [0, 1] 上で ∂π_tot/∂α > 0 となるため、制約付き最大値は α = 1 となる。また、(s - ℓ)/k < 0 であれば、区間 [0, 1] 上で ∂π_tot/∂α < 0 となるため、制約付き最大値は α = 0 となる。したがって、

$${\alpha }^{CO}=\frac{s-\ell }{k},$$

ただし、この式が [0, 1] の範囲外に出る場合は、境界値である 0 または 1 となる。

(iii) 過剰自動化の歪み（ウェッジ）：N > N* と仮定する。このとき (i) より α^{NE} = (s - ℓ/N)/k > 0 である。

ケース s > ℓ： (s - ℓ/N)/k > 0 かつ (s - ℓ)/k > 0 の両方が成り立つため、どちらの率もゼロで打ち切られることはない。差を引くと、

$${\alpha }^{NE}-{\alpha }^{CO}=\frac{s-\ell /N}{k}-\frac{s-\ell }{k}=\frac{\ell -\ell /N}{k}=\frac{\ell \left(1-1/N\right)}{k}$$

ℓ > 0 かつ 1 - 1/N > 0 であるため、N ≥ 2 においてこれは厳密に正となる。

比較静学のために、ウェッジを W = ℓ(1 - 1/N)/k と書く。

	$$\frac{\partial W}{\partial N}$$	$$=\frac{\ell }{k{N}^2}>0$$	$$\text{(}N\text{について増加}\text{)},$$
	$$\frac{\partial W}{\partial \ell }$$	$$=\frac{1-1/N}{k}>0$$	$$\text{(}\ell \text{について増加}\text{)},$$
	$$\frac{\partial W}{\partial k}$$		$$\text{(}k\text{について減少}\text{)}.$$

(iv) 境界の場合：

s ≤ ℓ の場合、(s - ℓ)/k ≤ 0 となるため、α^{CO} = 0 である。したがって、ウェッジは α^{NE} - α^{CO} = α^{NE} となる。我々は N > N* という設定下にあるため、(s - ℓ/N)/k > 0 である。しかしながら、(s - ℓ/N)/k > 1 である可能性も残されている。

もし $s<k+\ell /N$ であれば、${\alpha }^{NE}=(s-\ell /N)/k$ となり、これがウェッジ（歪み）となります。もし $s>k+\ell /N$ であれば、${\alpha }^{NE}$ は境界解（コーナー解）となり、${\alpha }^{NE}=1$ となります。これがその場合のウェッジです。∎

補題 1（境界の場合）

$\delta (\mu ):=\frac{\mu \ell }{\lambda (1-\mu )}$ を、計画的調整（planner correction）のうち ${\alpha }^{CO}$ を超える追加部分と定義します。このとき、$k>0$ に対して以下が成り立ちます。

1. (i) ${\alpha }^{NE}$ が内部的解（$0<\alpha <1$）となるための必要十分条件は $\ell /N<s<k+\ell /N$ であること。なお、$N>N^{\ast }$ は $s>\ell /N$ と同値であることに留意されたい。
2. (ii) ${\alpha }^{CO}$ が内部的解となるための必要十分条件は $\ell <s<k+\ell$ であること。
3. (iii) ${\alpha }^{SP}(\mu )$ が内部的解となるための必要十分条件は $\ell +\delta (\mu )<s<k+\ell +\delta (\mu )$ であること。

各区間の幅はいずれも $k$ である。$\mu >0$ において $\ell /N<\ell <\ell +\delta (\mu )$ が成り立つため、これら 3 つのウィンドウは順に右側へシフトしている。つまり、内部的な自動化（部分導入）は、ナッシュ行動の下では最も低いコスト削減幅で生じ、協力の下では中程度、社会的計画者の下では最も高いコスト削減幅でのみ生じる。

補題 1（境界の場合）の証明

各項の主張は、生の数式が厳密に $(0,1)$ の範囲内にあるかを確認することで導かれる。

(i) ナッシュ均衡。 命題 1(i) より、${\alpha }^{NE}=(s-\ell /N)/k$ である。生の数式 $(s-\ell /N)/k$ が厳密に正となるのは $s>\ell /N$（すなわち $N>N^{\ast }$）のときであり、厳密に 1 より小さくなるのは $s<k+\ell /N$ のときである。

(ii) 協調的最適。 命題 1(ii) より、${\alpha }^{CO}=(s-\ell )/k$ である。生の数式 $(s-\ell )/k$ が厳密に正となるのは $s>\ell$ のときであり、厳密に 1 より小さくなるのは $s<k+\ell$ のときである。

(iii) 社会的計画者。 命題 2(i) より、${\alpha }^{SP}(\mu )=(s-\ell )/k-\mu \ell /[\lambda (1-\mu )k]$ となる。項を整理すると、${\alpha }^{SP}(\mu )=(s-\ell -\delta (\mu ))/k$ となり、これは $s>\ell +\delta (\mu )$ のとき厳密に正となり、$s<k+\ell +\delta (\mu )$ のとき厳密に 1 より小さくなる。

最後に、$N>N^{\ast }\ge 1$（実際、戦略的状況下では $N\ge 2$）であるため $\ell /N<\ell$ が成り立ち、また $\mu >0$ のとき $\delta (\mu )>0$ であるため $\ell <\ell +\delta (\mu )$ が成り立つ。∎

系 1（摩擦のない極限、命題 1 の系）の証明

1. (i) $k=0$ のとき、企業 $i$ の式 (6) に基づく利潤は以下のようになる。

   ${\pi }_i={\Pi }_0+L\left[{\alpha }_i\left(s-\frac{\ell }{N}\right)-\frac{\ell }{N}{\sum }_{j\ne i}{\alpha }_j\right].$

   これは ${\alpha }_i$ に関する一次式（アフィン関数）であり、その傾きは $L(s-\ell /N)$ である。重要なのは、この傾きが競合他社の選択 ${\alpha }_{-i}$ に依存しない点である。競合他社の自動化は（最後の項を通じて）企業 $i$ の利潤の水準には影響するが、${\alpha }_i$ に関する限界利益には影響しない。したがって、最適な ${\alpha }_i$ は ${\alpha }_{-i}$ に依存せず、支配戦略となる。

   $N>N^{\ast }$（これは $s>\ell /N$ と同値）のとき、傾きは厳密に正となる。${\pi }_i$ は $[0,1]$ において ${\alpha }_i$ に関して線形かつ増加関数であるため、唯一の最適解は上限境界である ${\alpha }_i^{\ast }=1$ となる。これはすべての企業で同時に成り立つため、すべての $i$ について ${\alpha }_i=1$ が唯一のナッシュ均衡となる。

2. (ii) さらに、コスト削減幅が需要損失より小さい、すなわち $s<\ell$ と仮定する。$k=0$ のとき、式 (5) に基づく集計利潤は $\bar{\alpha }$ に関して線形である：${\sum }_i{\pi }_i=N{\Pi }_0+NL(s-\ell )\bar{\alpha }$。$s-\ell <0$ であるため、これは $\bar{\alpha }$ に関して狭義減少関数となる。したがって、利潤を最大化する協調的結果は $\bar{\alpha }=0$（自動化なし）となり、企業あたりの利潤は ${\Pi }_0$ となる。

   ナッシュ均衡（$\bar{\alpha }=1$）においては、企業あたりの利潤は ${\Pi }_0+L(s-\ell )$ である。$s-\ell <0$ であるため、${\Pi }_0+L(s-\ell )<{\Pi }_0$ となり、すべての企業は協調時よりも厳密に少ない利潤を得る。企業あたりの利潤損失は ${\Pi }_0-[{\Pi }_0+L(s-\ell )]=L(\ell -s)$ である。$N$ 企業全体での死荷重（deadweight loss）の総計は $NL(\ell -s)$ となる。

   需要損失については、式 (2) より：

   $D=A+\lambda wLN-\ell LN\bar{\alpha }.$

   $\bar{\alpha }=0$ のとき：$D^{CO}=A+\lambda wLN$。$\bar{\alpha }=1$ のとき：$D^{NE}=A+\lambda wLN-\ell LN$。したがって、$D^{CO}-D^{NE}=\ell LN$ となる。

∎

命題 2（一般化された計画者と余剰損失）の証明

1. (i) $\mu$-計画者は、式 (8) の $S(\mu )=\mu \mathcal{W}+(1-\mu )\mathcal{K}$ を最大化するように $\bar{\alpha }$ を選択する。各導関数を順に計算する。$\mathcal{W}=wLN[1-(1-\eta )\bar{\alpha }]$ であるから、

   $\frac{d\mathcal{W}}{d\bar{\alpha }}=-wNL(1-\eta ).(15)$

   $\ell =\lambda (1-\eta )w$ であるため、これは $-\ell NL/\lambda$ に等しい。また、$\mathcal{K}=N[{\Pi }_0+L((s-\ell )\bar{\alpha }-\frac{k}{2}{\bar{\alpha }}^2)]$（例：式 (14)）であるから、

   $\frac{d\mathcal{K}}{d\bar{\alpha }}=NL[(s-\ell )-k\bar{\alpha }].(16)$

   これらを組み合わせる：

   $\frac{dS}{d\bar{\alpha }}=\mu \frac{d\mathcal{W}}{d\bar{\alpha }}+(1-\mu )\frac{d\mathcal{K}}{d\bar{\alpha }}=-\frac{\mu \ell NL}{\lambda }+(1-\mu )NL[(s-\ell )-k\bar{\alpha }].$

   これをゼロと置き、$NL>0$ で割る：

   $(1-\mu )[(s-\ell )-k\bar{\alpha }]=\frac{\mu \ell }{\lambda }.$

   両辺を $(1-\mu )>0$ で割り、$k\bar{\alpha }$ について解く：

   $(s-\ell )-k\bar{\alpha }=\frac{\mu \ell }{\lambda (1-\mu )},⟹k\bar{\alpha }=(s-\ell )-\frac{\mu \ell }{\lambda (1-\mu )}.$

   $k$ で割ると、以下が得られる：

   ${\alpha }^{SP}(\mu )=\frac{s-\ell }{k}-\frac{\mu \ell }{\lambda \cdot (1-\mu )\cdot k}(17)$

   この最適解が有効であるのは $0\le {\alpha }^{SP}\le 1$ の場合に限られる。境界を特定するため、${\alpha }^{SP}(\bar{\mu })=0$ となる $\bar{\mu }$ を定義する。これを $\bar{\mu }$ について解くと：

   $s-\ell =\frac{\bar{\mu }\ell }{\lambda \cdot (1-\bar{\mu })}\Downarrow \bar{\mu }=\frac{\lambda (s-\ell )}{\ell +\lambda (s-\ell )}$

   式 (17) より、${\alpha }^{SP}$ は $\mu$ に関して減少関数であるため、$\mu >\bar{\mu }$ であれば 式 (17) は負の値をとる。

   同様に、${\alpha }^{SP}(\underline{\mu })=1$ となる $\underline{\mu }$ を定義すると：

   $s-\ell -k=\frac{\underline{\mu }\ell }{\lambda \cdot (1-\underline{\mu })}\Downarrow \underline{\mu }=\frac{\lambda (s-\ell -k)}{\ell +\lambda (s-\ell -k)}$

   このとき、$\mu \le \underline{\mu }$ であれば 式 (17) は 1 より大きくなる。

2. (ii) 次を想起せよ：

   \displaystyle S = \mu\cdot\mathcal{W}+(1-\mu)\cdot\mathcal{K} \qquad \text{(<a href="#S3.E8" target="_blank" rel="noopener noreferrer">式 (8)</a>)}

   \displaystyle = \mu\cdot wLN\left[1-(1-\eta)\bar{\alpha}\right]+(1-\mu)\cdot N\left[\Pi_{0}+L\left((s-\ell)\bar{\alpha}-\tfrac{k}{2}\bar{\alpha}^{2}\right)\right] \qquad \text{(<a href="#S3.E8" target="_blank" rel="noopener noreferrer">式 (8)</a> および <a href="#A1.E14" target="_blank" rel="noopener noreferrer">式 (14)</a>)}

   $=N\left[\mu wL\left(1-(1-\eta )\bar{\alpha }\right)+(1-\mu )\left({\Pi }_0+L\left((s-\ell )\bar{\alpha }-\frac{k}{2}{\bar{\alpha }}^2\right)\right)\right]$

   $=\underset{a}{\underbrace{N[\mu wL+(1-\mu ){\Pi }_0]}}+\underset{b}{\underbrace{NL\left(-\mu \frac{\ell }{\lambda }+(1-\mu )(s-\ell )\right)}}\bar{\alpha }+\underset{\frac{1}{2}\gamma }{\underbrace{\left(-\frac{(1-\mu )NLk}{2}\right)}}{\bar{\alpha }}^2$

ここで、1 次項については式 (3) から得られる $w\left(1-\eta \right)=\ell /\lambda$ を用いた。これは $S=a+b\overline{\alpha }+\frac{1}{2}\gamma {\overline{\alpha }}^2$ という 2 次関数であり、ここで は厳密に負である。最大値 $x^{\ast }=-b/\gamma$ のまわりで平方完成を行うと：

$$f\left(x\right)=a+bx+\frac{1}{2}\gamma x^2=f\left(x^{\ast }\right)+\frac{1}{2}\gamma {\left(x-x^{\ast }\right)}^2,$$

したがって、

$$f\left(x^{\ast }\right)-f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\gamma {\left(x-x^{\ast }\right)}^2=\frac{1}{2}\left|\gamma \right|{\left(x-x^{\ast }\right)}^2,$$

となる。最後の等式では $\gamma \le 0$ を用いた。これに $x^{\ast }={\alpha }^{SP}\left(\mu \right)$、$x={\alpha }^{NE}$、および $\left|\gamma \right|=\left(1-\mu \right)NLk$ を代入すると：

$$S\left({\alpha }^{SP}\right)-S\left({\alpha }^{NE}\right)=\frac{\left(1-\mu \right)NLk}{2}{\left[{\alpha }^{NE}-{\alpha }^{SP}\left(\mu \right)\right]}^2.$$

(iii)

式 (9) より、この乖離（wedge）は以下のように分解される：

$${\alpha }^{NE}-{\alpha }^{SP}\left(\mu \right)=\frac{\ell \left(1-1/N\right)}{k}+\frac{\mu \ell }{\lambda \left(1-\mu \right)k}.$$

第 1 項である $\ell \left(1-1/N\right)/k$ は、$\ell >0$ かつ $N\ge 2$ であるため厳密に正である。第 2 項である $\mu \ell /\left[\lambda \left(1-\mu \right)k\right]$ は、任意の $\mu \in (0,1)$ について厳密に正であり、$\mu =0$ の場合に限りゼロとなる。したがって、すべての $\mu \in [0,1)$ について ${\alpha }^{NE}>{\alpha }^{SP}\left(\mu \right)\ge {\alpha }^{CO}$ が成り立つ。

労働者所得について：式 (15) より、$𝒲=wLN\left[1-\left(1-\eta \right)\overline{\alpha }\right]$ は $\overline{\alpha }$ に関する 1 次関数（アフィン関数）であり、かつ $\left(1-\eta \right)>0$（ という前提より）であるため厳密に減少する。したがって、${\alpha }^{NE}>{\alpha }^{CO}$ であれば となる。

所有者余剰について：式 (16) より、$d𝒦/d\overline{\alpha }=NL\left[\left(s-\ell \right)-k\overline{\alpha }\right]$ であり、これは $\overline{\alpha }=\left(s-\ell \right)/k={\alpha }^{CO}$ でゼロとなり、$\overline{\alpha }>{\alpha }^{CO}$（$k>0$ より）では厳密に負となる。したがって $𝒦$ は区間 $({\alpha }^{CO},{\alpha }^{NE}]$ 上で厳密に減少するため、 となる。

$𝒲$ および $𝒦$ の双方とも、ナッシュ均衡では協調最適点と比較して厳密に低い値をとるため、${\alpha }^{CO}$ から ${\alpha }^{NE}$ へ移行することで、いずれの階級も厚生を改善することはできない。すなわち、ナッシュ均衡はパレート劣位である。